Concurso de Verano: Semana 6

Un niño de 10 años, lleno de curiosidad, le pregunta a su profesora de Matemática: "Señorita, ¿qué edad tiene usted?"

La profesora un tanto incómoda le contesta : "Tengo seis años más que el doble de la edad que tu tenías cuando yo tenía la edad que tienes ahora".

El niño abrió los ojos y dijo: "¿Tan vieja?"

 

¿Cuál es la edad de la profesora?

Concurso de Verano: Semana 5

Sea \(f\) una función que le asocia a cada real \(x\) el menor elemento del conjunto \(\{x-1,\frac{6-x}{2}\}\) . ¿Cuál es el valor máximo que puede tomar \(f(x)\) ?

Concurso de Verano: Semana 4

¿Cuántas sumas distintas compuestas por 101 impares positivos que den 2013 se pueden escribir?

Considere que los números se pueden repetir y que al contar una suma que contiene \(a + b\) también se debe contar la suma que contiene \(b + a\) .

Concurso de Verano: Semana 3

Semana 3

2013 personas llevan un sombrero que puede ser blanco o negro, aunque cada uno desconoce el color del suyo. Saben que no son todos blancos, aunque no se excluye la posibilidad de que todos sean negros. Se asume que estas personas son lógicos perfectos, es decir, si la información que tienen disponible permite concluir algo, todos ellos llegarán a dicha conclusión, además se asume que son todos honestos.Todas las personas están sentadas una detrás de otra (fila india), de modo que el último puede ver el color de los sombreros  de todo el resto, mientras que el penúltimo puede ver los sombreros de todos, salvo el propio y el del último, as ́ sucesivamente, hasta llegar al primero que no ve a nadie.

 
En un momento el último afirma que no sabe de qué color es el suyo; a continuación, el penúltimo dice lo mismo, y así, todos dicen lo mismo, salvo el primero, que no ve nada, dice que sí sabe el color del suyo. ¿Es esto posible? ¿De qué color es el sombrero del primero?